Corso Pensiero Computazionale e Coding per Tutti: 4 L’algebra booleana

 

4 L’algebra booleana: la lingua segreta dei computer

L’algebra booleana è un sistema logico basato su soli due valori: Vero (1) e Falso (0). È alla base di tutto ciò che fa funzionare il mondo digitale, dai circuiti elettrici ai programmi dei computer.

Variabili booleane

Le variabili booleane possono assumere solo due valori: 0 (Falso) o 1 (Vero). Immagina un interruttore acceso o spento: quello è il concetto base della logica booleana.

Operazioni principali

• AND (E): vero solo se tutte le condizioni sono vere.
• OR (O): vero se almeno una condizione è vera.
• NOT (NON): inverte il valore, da vero a falso e viceversa.

Tabelle di verità

Le tabelle di verità sono strumenti visuali che mostrano come funzionano queste operazioni. Eccone alcune di base:

AND

A	B	A AND B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

OR

A	B	A OR B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

NOT

A	NOT A
0	1
1	0

Proprietà utili

• Commutativa: A AND B = B AND A, A OR B = B OR A
• Associativa: (A AND B) AND C = A AND (B AND C)
• Distributiva: A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C)
• Leggi di De Morgan:
  NOT(A AND B) = NOT A OR NOT B
  NOT(A OR B) = NOT A AND NOT B

Attività pratiche per capire l’algebra booleana

🎮 Semaforo logico

Immagina un semaforo con tre segnali:

• G = verde (1 = verde acceso, 0 = spento)
• Y = giallo
• C = macchina in arrivo (1 = sì, 0 = no)

Il personaggio può attraversare se:

• Il semaforo è verde OR
• Il semaforo è giallo AND non c’è macchina in arrivo.

Espressione booleana: CanPass = G OR (Y AND NOT C)

Tabella di verità: Semaforo

G	Y	C	Y AND NOT C	CanPass
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	0	1
1	0	1	0	1
1	1	0	1	1
1	1	1	0	1

🔍 Caccia agli oggetti

Hai una collezione di oggetti con queste caratteristiche:

• R = rosso
• T = tondo
• S = leggero

Se vuoi trovare gli oggetti che sono rossi E tondi, usi l’espressione R AND T.

Se vuoi quelli che sono rossi O tondi ma leggeri, allora: (R OR T) AND S.

🧩 Mini circuiti logici

Con cartoncini o disegni, rappresenta le porte logiche:

• AND: due interruttori in serie
• OR: due interruttori in parallelo
• NOT: un inverter che cambia il valore

Prova a costruire il circuito che attiva l’uscita solo se A = 1 e B = 0, cioè A AND NOT B.

Esercizi svolti e quiz finale

Esercizio 1: Tabella di verità per F = NOT(A AND (B OR C))

Costruzione tabella

A	B	C	B OR C	A AND (B OR C)	F = NOT(...)
0	0	0	0	0	1
0	0	1	1	0	1
0	1	0	1	0	1
0	1	1	1	0	1
1	0	0	0	0	1
1	0	1	1	1	0
1	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	0

Spiegazione: Se A è falso, F è vero. Altrimenti, F dipende da B e C secondo le regole di De Morgan.

Esercizio 2: Semplifica F = (A AND B) OR (A AND NOT B)

Soluzione:
Fattorizziamo A: F = A AND (B OR NOT B)
Sapendo che B OR NOT B = 1, otteniamo F = A AND 1 = A.
Quindi, F = A.

Esercizio 3: Costruisci l’XOR usando AND, OR e NOT

L’operazione XOR (Exclusive OR) è vera solo quando A e B sono diversi.
Si può esprimere così:
A XOR B = (A AND NOT B) OR (NOT A AND B)

Tabella di verità XOR

A	B	A AND NOT B	NOT A AND B	XOR
0	0	0	0	0
0	1	0	1	1
1	0	1	0	1
1	1	0	0	0

Quiz finale: metti alla prova la tua logica!

1. Qual è il risultato di: VERO AND FALSO?
   Risposta: FALSO — perché AND richiede che entrambi siano veri.
2. Qual è il risultato di: VERO OR FALSO?
   Risposta: VERO — perché OR richiede almeno uno vero.
3. Qual è il risultato di: NOT VERO?
   Risposta: FALSO — NOT inverte il valore.
4. Se A = VERO e B = VERO, quanto vale A AND B?
   Risposta: VERO (1).
5. Se A = FALSO e B = FALSO, quanto vale A OR B?
   Risposta: FALSO (0).
6. Cosa dice la legge di De Morgan su NOT (A AND B)?
   Risposta: NOT (A AND B) = NOT A OR NOT B.
7. Simplifica l’espressione (A AND B) OR (A AND NOT B).
   Risposta: A.

Complimenti, hai imparato i fondamenti dell’algebra booleana! Ora puoi riconoscere come i computer prendono decisioni logiche passo dopo passo.

Corso Pensiero Computazionale e Coding per Tutti: 3 Il linguaggio binario e i sistemi di numerazione

3 Il linguaggio binario e i sistemi di numerazione

Introduzione: perché il binario?

Immagina un corridoio pieno di lampadine. Ogni lampadina può essere accesa (1) o spenta (0). Con una sola lampadina puoi indicare due stati: acceso/spento. Con due lampadine hai quattro combinazioni (00, 01, 10, 11). Questo è il cuore del linguaggio digitale: segnali ON/OFF, sì/no, 1/0. I computer parlano così perché i componenti elettronici — transistor, porte logiche — funzionano scegliendo tra due stati.

Concetti teorici essenziali

• Bit = binary digit = 0 o 1.
• Posizione in un numero binario corrisponde a una potenza di 2. Da destra a sinistra: 2⁰, 2¹, 2², 2³, …
• Byte = 8 bit. Nibble = 4 bit. Parole (word) dipendono dall’architettura (16, 32, 64 bit).
• Range valori: con n bit si rappresentano 0 … (2ⁿ − 1) per numeri senza segno.
• Due-complemento = convenzione per rappresentare numeri negativi (vedremo come funziona).

Tabella rapida potenze di 2 (utile come "tassello" in classe)

• 2⁰ = 1
• 2¹ = 2
• 2² = 4
• 2³ = 8
• 2⁴ = 16
• 2⁵ = 32
• 2⁶ = 64
• 2⁷ = 128
• 2⁸ = 256

Conversioni — esempi passo-passo (eseguiti digit-by-digit)

A) Da binario a decimale — Esempio: 1011

Leggiamo da sinistra (ma calcoliamo per posizione da destra a sinistra):

• cifre (da sinistra a destra): 1 0 1 1
• posizioni (da destra): 2³, 2², 2¹, 2⁰ = 8, 4, 2, 1
  Calcolo:
• 1 × 2³ = 1 × 8 = 8
• 0 × 2² = 0 × 4 = 0
• 1 × 2¹ = 1 × 2 = 2
• 1 × 2⁰ = 1 × 1 = 1
  Somma = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 (decimale).

B) Da decimale a binario — Metodo divisione per 2 (resti)

Esempio: convertiamo 156 in binario (mostro ogni divisione: quoziente e resto).

• 156 ÷ 2 = 78 resto 0
• 78 ÷ 2 = 39 resto 0
• 39 ÷ 2 = 19 resto 1
• 19 ÷ 2 = 9 resto 1
• 9 ÷ 2 = 4 resto 1
• 4 ÷ 2 = 2 resto 0
• 2 ÷ 2 = 1 resto 0
• 1 ÷ 2 = 0 resto 1 (qui terminiamo)
  Ora leggiamo i resti dal basso verso l’alto: 1 0 0 1 1 1 0 0 → 10011100 (binario). Verifica: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 0 = 156.

C) Da decimale a esadecimale (base 16) — esempio: 255

Divisione per 16:

• 255 ÷ 16 = 15 resto 15 → 15 in esadecimale è F
• 15 ÷ 16 = 0 resto 15 → F
  Quindi 255 decimale = FF (esadecimale).

Codifica di caratteri: ASCII (pratica)

I computer memorizzano lettere come numeri. ASCII standard associa ad esempio:

• "A" → 65 → in binario 01000001 (8 bit).
  Esempio pratico: trasformiamo la parola Tom (passo-passo):
• T = 84 → dividendo per 2 otteniamo binario: 01010100
• o = 111 → binario: 01101111
• m = 109 → binario: 01101101
  Nome in binario: 01010100 01101111 01101101.

(Se vuoi, puoi fornire la tabella ASCII da stampare; per la lezione basta mostrare qualche esempio e far convertire i padroni di casa.)

Operazioni binarie — esempi svolti

A) Addizione binaria — esempio: 1011 + 1101

Allineiamo a destra:

   1011   (11 decimale)
 + 1101   (13 decimale)
 ------

Sommiamo colonna per colonna da destra:

• colonna 0 (2⁰): 1 + 1 = 2 → scrivo 0, porto 1 (carry).
• colonna 1 (2¹): 1 + 0 + carry1 = 2 → scrivo 0, porto 1.
• colonna 2 (2²): 0 + 1 + carry1 = 2 → scrivo 0, porto 1.
• colonna 3 (2³): 1 + 1 + carry1 = 3 → 3 in binario è 1 con carry 1 (perché 3 = 1 + 2). Scrivo 1, porto 1.
• carry finale = 1 → lo scrivo a sinistra.

Risultato: 11000.

Verifica in decimale: 11 + 13 = 24 → 11000 in binario = 16 + 8 = 24. Perfetto.

B) Sottrazione con due-complemento — esempio: 13 − 5 (usando 8 bit)

Rappresentazioni (8 bit):

• 13 = 00001101
• 5 = 00000101
  Passi per ottenere −5 in due-complemento:

1. inverti tutti i bit di 5: 11111010
2. aggiungi 1: 11111010 + 1 = 11111011 (questo è il −5 in due-complemento)
   Ora addiziona 13 + (−5):

  00001101
+ 11111011
= 00001000 (con carry che scarta)

Risultato 00001000 = 8. Corretto.

C) Esempio di overflow (8 bit): 130 + 140

• 130 = 10000010
• 140 = 10001100
  Addizione:
• Somma aritmetica: 130 + 140 = 270
• In 8 bit il massimo è 255 → abbiamo overflow. Se consideriamo solo gli 8 bit di basso peso otteniamo 00001110 = 14.
  Spiegazione: la somma genera un carry oltre l’ottavo bit, perso se si lavora su 8 bit senza segnalazione → valore risultante = 270 mod 256 = 14.

Esercizi svolti

Esercizio 1 — Converti 19 in binario (passi)

Divisioni:

• 19 ÷ 2 = 9 r 1
• 9 ÷ 2 = 4 r 1
• 4 ÷ 2 = 2 r 0
• 2 ÷ 2 = 1 r 0
• 1 ÷ 2 = 0 r 1
  Rivolgi i resti: 10011. Verifica: 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19.

Esercizio 2 — Usa ASCII: quale è il binario di "C"?

"C" = 67 decimale. Convertiamo:

• 67 ÷ 2 = 33 r 1
• 33 ÷ 2 = 16 r 1
• 16 ÷ 2 = 8 r 0
• 8 ÷ 2 = 4 r 0
• 4 ÷ 2 = 2 r 0
• 2 ÷ 2 = 1 r 0
• 1 ÷ 2 = 0 r 1
  Resta: 1000011. Con 8 bit (prefisso aggiunto): 01000011.

Esercizio 3 — Addizione: 0110 + 0011

• 0110 (6) + 0011 (3) = 1001 (9). Passaggi: colonna per colonna, portando eventuali carry (qui nessuno tranne al limite).

Test finale (autovalutazione)

1. Converti in binario:

a) 6 →

b) 13 →

c) 31 →

2. Qual è il valore decimale di 10110?

a) 22 b) 23 c) 21 d) 24

3. Qual è il codice ASCII della lettera C?

a) 65 b) 67 c) 66 d) 68

4. In esadecimale, qual è il simbolo per il valore decimale 15?

a) E b) D c) F d) G

5. Quale rappresentazione binaria è corretta per il numero 9?

a) 1001 b) 1011 c) 0110 d) 1111

10) Soluzioni del test — con spiegazioni passo-passo

1. Converti in binario

a) 6 → divisioni: 6 ÷ 2 = 3 r0; 3 ÷ 2 = 1 r1; 1 ÷ 2 = 0 r1 → leggendo i resti: 110.

b) 13 → 13 ÷ 2 = 6 r1; 6 ÷ 2 = 3 r0; 3 ÷ 2 = 1 r1; 1 ÷ 2 = 0 r1 → resti: 1101.

c) 31 → 31 ÷ 2 = 15 r1; 15 ÷ 2 = 7 r1; 7 ÷ 2 = 3 r1; 3 ÷ 2 = 1 r1; 1 ÷ 2 = 0 r1 → 11111.

2. 10110 → valore decimale

Calcolo posizioni: da destra 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16

Cifre: 1·16 + 0·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22 → risposta a).

3. ASCII di C

A è 65, B 66, C 67 → risposta b). (In binario C = 01000011.)

4. Valore decimale 15 in esadecimale

In esadecimale i simboli 10–15 corrispondono a A–F; quindi 15 → F → risposta c).

5. Rappresentazione binaria del 9

9 = 8 + 1 = 2³ + 2⁰ → cifre 1001 → risposta a).

L’Alfabeto della Luce:

Come i Computer Usano il Binario per Creare il Mondo Digitale

Immaginate un corridoio infinito pieno di interruttori. Ognuno di questi può essere solo in due stati: acceso o spento. Non esistono sfumature, non c’è una via di mezzo. Questo scenario, apparentemente semplice, è il motore segreto di ogni smartphone, computer o intelligenza artificiale sul pianeta. È il mondo del linguaggio binario.

1. Perché i computer sono così "testardi"?

Noi esseri umani usiamo il sistema decimale (basato su 10 cifre, probabilmente perché abbiamo dieci dita), ma per una macchina è molto più sicuro e veloce distinguere tra "c'è corrente" (1) e "non c'è corrente" (0). Questi singoli frammenti di informazione si chiamano Bit (Binary Digit).

Quando mettiamo insieme 8 di questi "interruttori", otteniamo un Byte. Se un bit è una lettera, un byte è una parola corta; mettendone insieme miliardi, otteniamo i video in alta definizione che guardiamo ogni giorno.

2. Il gioco delle potenze: come contare con 0 e 1

Nel nostro sistema decimale, la posizione di una cifra cambia il suo valore (pensa alla differenza tra 1, 10 e 100). Nel binario funziona allo stesso modo, ma ogni posizione vale il doppio di quella precedente:

• La prima posizione a destra vale 1.

• La seconda vale 2.

• La terza vale 4, poi 8, 16, 32, e così via.

Quindi, se vediamo il numero binario 1011, stiamo leggendo un codice che dice: "Prendi un 8, zero 4, un 2 e un 1". Sommandoli (8+2+1), scopriamo che per il computer quel codice significa 11.

3. Dalle cifre alle lettere: il codice ASCII

Ma come fa un computer a scrivere "Ciao" se capisce solo i numeri? Esiste una sorta di "dizionario universale" chiamato ASCII. In questo sistema, ogni lettera corrisponde a un numero specifico.

Ad esempio, la lettera "A" maiuscola è il numero 65. Quando premiamo "A" sulla tastiera, il computer riceve istantaneamente una sequenza di otto interruttori (01000001) che interpreta come quella specifica lettera.

4. Matematica binaria: addizioni e "trabocchi"

Sommare in binario è sorprendentemente simile a come facevamo a scuola, ma con una regola bizzarra: 1 + 1 fa 0 con il riporto di 1. È come se il nostro contatore non avesse spazio per il "2" e dovesse passare subito alla colonna successiva.

A volte, però, i computer incontrano un limite fisico: l'Overflow. Immaginate un contachilometri di una vecchia auto che arriva a 999.999; al chilometro successivo, torna a 000.000 perché non ha più spazio per le cifre. Nei computer accade lo stesso: se il risultato di un calcolo è troppo grande per lo spazio di memoria assegnato (ad esempio 8 bit), i bit "in eccesso" vengono persi, e il risultato finale appare drasticamente più piccolo di quello reale.

5. Non solo 0 e 1: il misterioso Esadecimale

Per evitare di scrivere stringhe lunghissime di zeri e uni (che farebbero impazzire i programmatori), si usa spesso l'Esadecimale. È un sistema a 16 cifre che usa i numeri da 0 a 9 e poi le lettere da A a F per indicare i valori da 10 a 15. È un modo "compatto" per leggere il binario: ad esempio, il colore bianco puro in un sito web è scritto come FFFFFF, che per il computer è una lunghissima sfilza di "1" accesi.

6. Il modello RGB: I tre colori primari della luce

Ogni volta che inviate un emoji o guardate un film in streaming, state assistendo a una danza frenetica di miliardi di minuscoli interruttori che si accendono e si spengono. Il linguaggio binario è l'essenza della semplicità che genera una complessità infinita.

Per capire come un computer visualizza un tramonto infuocato o il verde di un prato partendo solo da zeri e uni, dobbiamo pensare allo schermo come a un immenso mosaico composto da milioni di tessere minuscole: i pixel.

Ecco il processo che trasforma i numeri in colori, passo dopo passo:

A differenza della pittura (dove i colori primari sono rosso, giallo e blu), i computer usano il sistema RGB (Red, Green, Blue). Ogni singolo pixel dello schermo è composto da tre piccolissime "lampadine" di questi colori.

Mescolando la luce di queste tre lampadine a diverse intensità, il nostro occhio percepisce tutti i colori possibili:

• Rosso + Verde + Blu (al massimo) = Bianco

• Rosso + Verde = Giallo

• Tutte spente = Nero

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7. La "Profondità di Colore": Quanti bit per ogni pixel?

Per decidere quanto deve essere luminosa ogni "lampadina" (R, G o B), il computer assegna loro dei numeri. Nella maggior parte dei sistemi moderni, si usano 8 bit per ogni colore.

Ricordate il sistema binario? Con 8 bit possiamo rappresentare numeri da 0 a 255.

• 0: La lampadina è completamente spenta.

• 255: La lampadina è alla sua massima luminosità.

Poiché abbiamo tre colori (R, G, B) e ognuno ha 8 bit, ogni pixel "pesa" 24 bit. Questo sistema permette di creare $256 \times 256 \times 256$ combinazioni, ovvero oltre 16 milioni di colori diversi: una varietà superiore a quella che l'occhio umano riesce a distinguere!

8. Dal Binario all'Esadecimale: Il linguaggio dei grafici

Quando i designer o i programmatori scelgono un colore per un sito web, non scrivono lunghe stringhe di 0 e 1, ma usano il sistema Esadecimale (base 16) che abbiamo visto prima.

Un codice colore esadecimale è composto da 6 caratteri (due per il Rosso, due per il Verde, due per il Blu). Ad esempio:

• #FF0000: Rosso al massimo (FF), Verde a zero (00), Blu a zero (00). Risultato: Rosso puro.

• #00FF00: Risultato: Verde puro.

• #808080: Una via di mezzo per tutti e tre. Risultato: Grigio.

9. Come viene memorizzata una foto?

Una fotografia digitale non è altro che una lunghissima lista di numeri. Il file (che sia un JPEG o un PNG) dice al computer:

1. "Il pixel nella posizione (0,0) deve avere Rosso=200, Verde=50, Blu=30".

2. "Il pixel a fianco deve avere Rosso=201..."

3. E così via per milioni di volte.

Quando apri l'immagine, la scheda video legge questi numeri e invia la giusta quantità di corrente elettrica alle minuscole lampadine LED del tuo schermo.

10 Curiosità: Perché alcune foto "pesano" più di altre?

Se ogni pixel occupa 24 bit e una foto ha 12 megapixel (12 milioni di pixel), il file dovrebbe essere enorme. Per questo esistono gli algoritmi di compressione come il JPEG, che "riassumono" i numeri: invece di scrivere il colore di ogni singolo pixel, dicono "in quest'area di 10 pixel sono tutti quasi blu, scriviamoli tutti uguali per risparmiare spazio".